درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- فرض کنید فیش‌ها را $a$ و $b$ و $c$ بنامیم. حالت‌های مختلف قرار دادن آنها را در مربع‌های زیر بنویسید.

$c$	$b$	$a$
$b$	$c$	$a$
$c$	$a$	$b$
$a$	$b$	$c$
$b$	$a$	$c$
$a$	$c$	$b$

2- آیا در سه مربع به هم چسبیده، حرفی می‌تواند تکرار شود؟
خیر، چون عددی که در یک جایگاه قرار گیرد نمی‌تواند در جایگاه دیگری مجدداً استفاده کرد.
3- با توجه به اصل ضرب چگونه می‌توان تعداد این چینش‌ها را به دست آورد؟

به چند حالت مختلف می‌توان چهار عدد 1 و 2 و 3 و 4 را کنار هم قرار داد؟
می‌خواهیم مسئلهٔ قبل را با استفاده از اصل ضرب حل کنیم. فرض کنید 4 مربع به صورت مقابل وجود دارد که پر کردن هر کدام از مربع‌ها یک مرحله از چینش است. واضح است که هر چهار مرحله باید انجام شود؛ لذا تعداد حالت‌های ممکن برای پر کردن مربع‌ها باید در هم ضرب شود.
1- اولین مربع (مثلاً مربع سمت چپ) به چند روش می‌تواند پر شود؟4 طریق
 پس از پرشدن اولین مربع چند عدد چیده نشده باقی مانده است؟ 3 عدد
 حال دومین مربع را به چند روش می‌توان پر کرد؟ سومین و چهارمین مربع را چطور؟ 2 طریق، یک طریق
 حال با توجه به اصل ضرب، تعداد حالت‌های ممکن برابر است با

$4\times 3\times 2\times 1=24$ 

بنابراین تعداد راه‌های چیدن چهار شیء متمایز یا به عبارتی تعداد جایگشت‌های چهار شیء متمایز عبارت است از حاصل ضرب

$4\times 3\times 2\times 1$ 

2- به نظر شما تعداد روش‌های چیدن پنج حرف یونانی $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ و $\delta$ و $\theta$ (به ترتیب آلفا، بتا، گاما، دلتا و تتا خوانده می‌شوند) کنار هم و بدون تکرار، یا به عبارتی تعداد جایگشت‌های پنج شیء متمایز چندتاست؟

$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ 

3- تعداد کلمات هفت حرفی (با معنی و بدون معنی) که از کنار هم قرار دادن حروف «ت»، «ش»، «و»، «ا»، «ن»، «پ» و «ه» می‌توان ساخت چندتاست؟ (بدون تکرار حروف)

$7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=5040$ 

4- با استفاده از ارقام 1 ،2 ،3 ،4 ،5 ،6 ،7 ،8 ،9 چند عدد 9 رقمی با ارقام متمایز می‌توان نوشت؟

$9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=362880$ 

5- تعداد جایگشت‌های 10 شیء متمایز چندتاست؟

$10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=3628800$ 

6- اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد، تعداد جایگشت‌های $n$ شیء متمایز را با یک حاصل ضرب نشان دهید.

$n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times ...\times 2\times 1$ 

1- مانند نمونه هر قسمت را کامل کنید.

$6!=6\times \overbrace{5\times 4\times 3\times 2\times 1}^{5!}=6\times 5!$ (الف

$8!$ (ب
$8!=8\times \underbrace{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}_{7!}=8\times 7!$

$10!$ (پ
$10!=10\times \underbrace{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}_{9!}=10\times 9!$

$n!$ (ت
$n!=n\times \underbrace{(n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1}_{(n-1)!}=n\times (n-1)!$

2- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید.

$ \frac{5!}{4!}=\frac{5\times \overbrace{4\times 3\times 2\times 1}^{4!}}{\underbrace{4\times 3\times 2\times 1}_{4!}}=5$  (الف

$\frac{10!}{9!}$ (ب
$\frac{10!}{9!}=\frac{10\times 9!}{9!}=10$

$\frac{n!}{(n-1)!}$ (پ
$\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n$

$\frac{8!}{6!}$ (ت
$\frac{8!}{6!}=\frac{8\times 7\times 6!}{6!}=56$

$\frac{10!}{8!}$ (ث
  $\frac{10!}{8!}=\frac{10\times 9\times 8!}{8!}=90$ 

$\frac{n!}{(n-2)!}$ (ج
$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)n(n-2)!}{(n-2)!}=n(n-1)$

$\frac{8!}{5!}$ (چ
$\frac{8!}{5!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5!}{5!}=336$

$\frac{10!}{7!}$ (ح
$\frac{10!}{7!}=\frac{10\times 9\times 8\times \not{7!}}{\not{7}!}=720$

$\frac{n!}{(n-3)!}$ (خ
 $\frac{n!}{(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)$ 

$\frac{n!}{(n-4)!}$ (د
 $\frac{n!}{(n-4)!}=\frac{n\times (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)!}=n(n-1)(n-2)(n-3)$ 

$\frac{n!}{(n-5)!}$ (ذ
$\frac{n!}{(n-5)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!}{(n-5)!}=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

$\frac{n!}{(n-k)!}$ (ر
$\frac{n!}{(n-k)!}=n\times (n-1)\times (n-2)...(n-(k-1))$

3- حاصل ضرب‌های زیر را مانند نمونه با استفاده از نماد فاکتوریل نمایش دهید.

$9\times 8=\frac{9!}{7!}$ (الف

$9\times 8\times 7\times 6$ (ب
$9\times 8\times 7\times 6=\frac{9!}{5!}$

$11\times 10\times 9$ (پ
$11\times 10\times 9=\frac{11!}{8!}$

8 (ت
$8=\frac{8!}{7!}$

$n(n-1)$ (ث
$n(n-1)=\frac{n!}{(n-2)!}$

$n(n-1)(n-2)(n-3)$ (ج
$n(n-1)(n-2)(n-3)=\frac{n!}{(n-4)!}$

1- تعداد کلمات هفت حرفی که بدون تکرار حروف با حروف $a,b,d,e,f,s,t$ می‌توان نوشت؛ یعنی تعداد جایگشت‌های هفت شیء متمایز برابر است با $7!$.
2- حال با توجه به اصل ضرب می‌خواهیم تعداد کلمات سه حرفی با حروف متمایز را که با همان هفت حرف بالا می‌توان نوشت، به دست آوریم.
برای انتخاب اولین حرف از حروف کلمهٔ سه حرفی چند انتخاب داریم؟ برای انتخاب دوم و سوم حرف چطور؟
7 انتخاب، 6 انتخاب و 5 انتخاب
بنابراین تعداد کلمات سه حرفیِ مورد نظر برابر است با $7\times 6\times 5=210$ 

در واقع آنچه به دست آمد، تعداد راه‌های چیدن سه شیء از هفت شیء متمایز یا به عبارتی تعداد جایگشت‌های سه تایی از هفت شیء متمایز است.

3- تعداد جایگشت های چهارتایی از نه شیء متمایز را به دست آورید.

$9\times 8\times 7\times 6=3024$

4- اعداد به دست آمده در مراحل 2 و 3 را با استفاده از فاکتوریل بنویسید.

$7\times 6\times 5=\frac{7!}{4!}\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}9\times 8\times 7\times 6=\frac{9!}{5!}$

5- تعداد جایگشت‌های سه تایی از $n$ شیء متمایز را به دست آورید و آن را با استفاده از فاکتوریل بنویسید.

$n(n-1)(n-2)=\frac{n!}{(n-3)!}$

6- تعداد جایگشت‌های $r$تایی از $n$ شیء متمایز $(0\le r\le n)$ را به دست آورید و آن را با استفاده از فاکتوریل بنویسید.

$n(n-1)(n-2)...(n-(4-2))(n-(r-1))=\frac{n!}{(n-r)!}$

1- یک مربی فوتبال قصد دارد برای بازی پیش رو در تیم خود یک دفاع راست، یک دفاع چپ، یک دفاع جلو و یک دفاع عقب قرار دهد. او شش بازیکن دفاعی دارد که می‌توانند در هر کدام از این چهار پست بازی کنند. در شروع بازی چند حالت برای چیدن این خط دفاعی برای این مربی وجود دارد؟
روش 1: با استفاده از اصل ضرب

 روش 2: با استفاده از جایگشت 4 شی از 6 شی متمایز $p(6,4)=\frac{6!}{2!}=6\times 5\times 4\times 3=360$
2- با عددهای 5 و 3 و 2 و 1 چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری می‌توان نوشت؟
روش 1: $4\times 3\times 2=24$ روش 2: $p(4,3)=\frac{4!}{1!}=24$

1- در یک لیگ فوتبال 18 تیم قرار دارند. در پایان این لیگ تیم‌های اول تا سوم به چند حالت مختلف می‌توانند مشخص شوند؟

روش اول:

روش دوم:

$p(18,3)=\frac{18!}{15!}=4896$

2- از بین تعدادی کتاب مختلف می‌خواهیم سه کتاب را انتخاب کنیم و در قفسه‌ای بچینیم. اگر تعداد حالت‌های مختلف برای این کار 210 تا باشد، تعداد کتاب‌ها چند تاست؟

$p(n,3)=210\Rightarrow \frac{n!}{(n-3)!}=210\Rightarrow n(n-1)(n-2)=210$

حاصل ضرب 3 عدد طبیعی متوالی 210 شده است که عبارتاند از 5 و 6 و 7، پس $n=7$. یعنی تعداد کتاب‌ها 7 تا است.
3- کدام یک از موارد زیر درست و کدام نادرست است؟

نادرست $720\ne 6+6$ $6!=3!+3!$

درست $6!=6\times 5!$

نادرست $40320\ne 24\times 2$   $8!=4!\times 2!$

$2\times 6\ne 720$ نادرست  $2\times 3!=6!$

${{6}^{2}}\ne 362880$  نادرست  ${{(3!)}^{2}}=9!$

نادرست $24\ne 20160$   $4!=\frac{8!}{2!}$

4- در یک نوع ماشین حساب کوچک که دارای 20 کلید است، برای انجام یک دستور خاص باید سه کلید مشخص با ترتیبی مشخص فشار داده شوند. اگر فردی نداند سه کلید مورد نظر کدام‌اند و بخواهد به طور تصادفی این کار را انجام دهد و فشردن هر سه کلید 2 ثانیه زمان بخواهد، این فرد حداکثر (در بدترین حالت) در چه زمانی می‌تواند دستور مورد نظر را اجرا کند؟
چون ترتیب فشردن کلید‌ها مهم است پس با مسئله جایگشت 3 شیء از میان 20 شیء متمایز مواجهیم:
تعداد کل حالت‌های انتخاب سه کلید و فشردن آنها با ترتیب خاص    $p(20,3)=\frac{20!}{17!}=20\times 19\times 18=6840\to $

$6840\times 2=13680S=228\min $

5- با حروف کلمهٔ «گل پیرا» و بدون تکرار حروف 
الف) چند کلمهٔ 6 حرفی می‌توان نوشت؟ چند تا از آنها با «گل» شروع می‌شود؟
تعداد کلمات 6 حرفی $6!$ است. تعداد آنهایی که با «گل» شروع شوند $4!$ است، زیرا جای اول و دوم با حروف «گ» و «ل» پر شده‌اند.
ب) چند کلمهٔ 4 حرفی می‌توان نوشت؟

$p(6,4)=\frac{6!}{2!}=360$

پ) چند کلمهٔ ٦حرفی می‌توان نوشت که در آنها دو حرف «پ» و «ر» در کنار هم آمده باشند؟
ت) چند کلمهٔ ۴ حرفی می‌توان نوشت که در آنها دو حرف «پ» و «ر» در کنار هم آمده باشند؟
«پ» و «ر» را با هم یک حرف در نظر می‌گیریم که به شکل «پر» یا «رپ» خواهد بود. حال به تعداد 2 حرف دیگر باید کنار این دو قرار گیرند تا کلمه 4 حرفی ایجاد شود.

ث) چند کلمهٔ ۵ حرفی می‌توان نوشت که در آنها حروف کلمهٔ «پیرا» کنار هم آمده باشند؟
اولاً توجه کنید که حروف کلمه «پیرا» خودشان به معنی $4!$ یعنی 24 طریق مختلف می‌توانند کنار هم قرار بگیرد. حالا 1 حرف دیگر می‌خواهیم از بین دو حرف «گ» و«ل» انتخاب شود.